Kesinlik tartışmalarıyla matematik

Matematik insanlığın en eski icatlarından olduğundan insanlık tarihinin her anına da tanıklık etmiştir. Sibirya tundrasında bir mamutu pay eden ailelerden, bilinmeyen gezegenlerin varlığını yalnızca matematikle tahmin eden Fransızlara ve onlardan da günümüzün sofistike bilgi-iletişim sistemlerine, ekonomik ve fiziksel modellerine... Matematik her zaman insanın yanında olmuştur. Ancak, verilen örnekten de kolaylıkla anlaşılacağı gibi, her çağın matematiği aynı olmamıştır. Her bilim gibi matematik de tarihsel bir gelişim süreci yaşamıştır. Bu süreci anlamanın başlangıç noktası olarak tanım-sanı-teorem üçlüsü alınabilir.

TANIM-SANI-TEOREM

Bir örnekle başlayalım: Çokgen nedir? Bazıları böyle bir soruyu anlamsız bulacaktır, böyle düşünenlere göre çokgenlerin ne oldukları zaten ortadadır! Bu görüşteki hatayı bulmaksa oldukça kolaydır: Çokgenlerin kaç kenarı olabilir? 5, 10, 20, 100?..

Peki ya sonsuz kenarlı olabilirler mi? Sonsuz tane kenarı olmak ne demektir ki? Çemberin sonsuz kenarı mı vardır? Öyleyse bile çokgen midir? Bu soruların hangilerine ikna edici, sonuçlandırıcı bir cevap verebilirsiniz? Burada tanımların önemi görülüyor. Sonsuz bir kesinlik arayışı olan matematikte bir ifadenin anlamı kesinlenmeden onu incelemek anlamsızdır, sonsuz kenarlı çokgenlerin olup olmadığı çokgenlerle ilgili söyleyebileceklerimizin sınırını çizer.

Şimdi dikkatimizi ilgili bir diğer önermeye çevirelim: “Bütün çokgenlerin alanı ölçülebilir.” Sezgimiz, bize, bu önermenin doğru olduğunu söyler. Peki gerçekten doğru olduğundan nasıl emin olabiliriz, burada ortaklaşabiliriz? Matematikte doğruluğu kesin olmayan ancak doğru olduğu tahmin edilen önermelere “sanı” denir. Tanımlarımızı kesinledikten sonra “Bütün çokgenlerin alanı ölçülebilir.” bir sanı hâline gelir. Doğruluğunu kesinlemek içinse bir kanıt gerekir. Bir kanıt, bir önermenin doğruluğuna bizi, en azından o anda, kesin olarak ikna eden bir argümandır. Kanıtların şüpheyi en aza indirmeleri gerekir. Bu noktada kanıtlara mutlakiyet atfetmemek önemlidir: Matematikçiler için bir çağda oldukça yeterli olan bir argüman standartların değişmesiyle yetersiz, geçersiz bulunabilir. Örneğimize dönecek olursak “alan” kavramını varsaydığımız anlaşılacaktır. Bu varsayım bir çağın matematikçileri için hoşgörülebilir olsa da günümüzde yeterli değildir, günümüzün “kesin” alan tanımı ise, şüphesizdir ki, geleceğin matematikçilerine yetersiz görünecektir.

BİLGİMİZ İLERLEDİKÇE YENİ SORULARIN KAPISI AÇILIR

“Bütün çokgenlerin alanı ölçülebilir.” önermesini kanıtladığımızı şimdi varsayalım. Bu önerme artık bir sanı değil, bir teoremdir. Doğruluğu, şimdilik, kesindir. Peki ya sonra? Bir önermeyi kanıtlamış olmak, onu varsayarak düşünmemizi sağlar. Artık daha derin sorular sorabiliriz, örneğin: Kenar uzunluklarını kullanan bir genel alan formülü var mıdır? Teoremler döşenmiş tuğlalar gibidirler, matematiği onların üzerine inşa ederiz. Bilgimizin genişlemesi yeni soruların, tanımların, sanıların ve teoremlerin önünü açar.

Platon matematik felsefesine nüfuzlu ancak yanlış bir katkı yapmıştır: Matematiksel objeler ideal bir dünyada var olan ve insan perspektifinden tamamen kopuk varlıklardır, idealar dünyasında mükemmel bir “çokgen” vardır. Lâkin bunun tam tersi doğrudur. Bunu anlamak adına çokgenlerin alanlarının ölçülüp ölçülemeyeceği üzerine yaptığımız tartışmada, yaptığımız seçimlerin altını çizmek gerekir. “Çokgen” göklerden vahiy ile indirilmiş bir kavram değildir, insanların seçimleriyle tanımlanır, bir “çokgen”in ne olduğunda ortaklaşırız. Aynı bunun gibi, bütün matematiksel kavramlar insanlık tarafından seçilmiş, icat edilmiştir.

Sanı-kanıt-teorem ilişkisi de buna benzerdir. Bir sanının incelenmesi, kanıtlanması için bunlara değer görülmesi, doğruluğuna ikna olunması; olunmasa bile yeni bir doğruluğun, bilginin kırıntısı görülmesi gerekir. Tanımların öznelliği bir kenara bırakıldığında bile matematiksel seçimler tükenmez: Araştırmacılar, hangi alanlara ve hangi konulara yöneleceklerinde, kısmî de olsa, bir seçime sahiptirler. Daha fazla matematikçinin ilgisini çeken alan, göklerde ne kadar önemsiz olursa olsun(!), daha fazla gelişecek ilerleyecektir. Öznellik ve seçim teorem-kanıt safhasında da matematiğin peşini bırakmayacaktır. İlgili bölümde de değinildiği gibi: Bir kanıt iddiasının kanıt hâline gelebilmesi için kabul görmesi gerekir. Bunun için ulaşması gereken standartlar ise çağa, zamana göre farklılık gösterir; hatta kişi, kurum ve ulusa göre bile.

KANITLAR BİLE GÖRECELİDİR!

Günümüz matematiğinde kanıtlanmış olup olmadığı kesin olmayan, yani bir uzlaşıma ulaşılamamış olan, en ünlü sanı abc Sanısı’dır. Matematiğin tam sayıları inceleyen dalı olan Sayılar Teorisinde bulunan bu sanının teknik detaylarını burada açıklamamız imkansızdır ancak bu sanıyla ilgili tartışmalar bizim için önemlidir. Japon matematikçi Şiniçi Moçizuki 2012’de abc Sanısının kanıtını içerdiğini iddia ettiği 4 ön baskı makale yayınladı. Normal prosedür çerçevesinde Moçizuki ile aynı konular üzerine araştırma yapan matematikçiler ise kısa zaman içinde ön baskıları inceleme altına aldılar. İncelemeciler bir süre sonra makalelerde çeşitli hatalar bulduklarını iddia ettiler. Ancak Moçizuki incelemecilerin hatalı olduğunu ve kendi fikir akışını takip edemediklerini açıkladı ve bir bilimsel anlaşmazlık ortaya çıkmış oldu. 11 yıl sonra bile Moçizuki’nin kanıtını kabul eden ve etmeyen matematikçiler arasındaki ayrım sürüyor. Kanıtın genel olarak kabul gördüğü tek ülke ise Japonya’dır.

Kısacası, matematik sanılanın aksine mutlakların keşfi değil, karşılıklı bir fikir üretim sürecidir. Matematiğin gelişimi, araştırmacıların karşılıklı fikir alışverişi ve ortaklaşmalarıyla gerçekleşir. Matematikçiler sürekli bir uzlaşı içerisinde değil, derin karşıtlıkların arasındaki konsensus adalarının üzerindelerdir ve konsensusun standartları çağdan çağa değişim gösterebilir. Matematik bir soru sorma ve cevap arama bilimidir. Herhangi bir soru nasıl sorulmaya değer veya değmez görülürse matematiksel olanlar da böyledir. Herhangi bir cevap nasıl kabul görüp görmeyebiliyorsa matematiksel olanlar da böyledir.